周?算經(jīng)卷下

周?算經(jīng)卷下

漢趙君卿注

北周漢中郡守前司隸臣甄鸞重述，

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風(fēng)等奉勑臣釋

明毛?挍：

凡日月運(yùn)行四極之道，

運(yùn)，周也。極，至也，謂外衡也。日月周行四方，至外衡而還，故曰四極也。

極下者，其地高，人所居六萬里，滂沲四隤而下游。北極從外衡主極下，乃高六萬里，而言人所居，蓋復(fù)盡外衡，滂四隤而下如覆槃也。天之中央，亦高四旁六萬里，

四旁，猶四極也。隨地穹窿而高如蓋笠，故日光外所照，徑八十一萬里，周二百四十三萬里。

日至外衡而還出，其光十六萬七千里，故日照。故日運(yùn)行處極北，北方日中，南方夜半。日在極東，東方日中，西方夜半。日在極南，南方日中，北方夜半。日在極西，西方日中，東方夜半。凡此四方者，天地四極四和。

四和者謂之極。子午卯酉，得東西南北之中，天地之所合，四時(shí)之所交，風(fēng)雨之所會(huì)，隂陽之所和，然則百物阜安，草木蕃庻。故曰四和。晝夜易處，

南方為晝，北方為夜。

加四時(shí)相及，南方日中，北方夜半。

然其隂陽所終，冬至所極，皆若一也。隂陽之?dāng)?shù)齊，冬夏之節(jié)同，寒暑之氣均，長(zhǎng)短之晷等，周?無差，運(yùn)變不二。

天象葢笠，地法覆槃，

見乃謂之象，形乃謂之法，在上故準(zhǔn)葢，在下故擬槃。象、法義同，葢、槃、形等，互文異器，以別尊卑，仰象俯法，名號(hào)殊矣。

天離地八萬里，然其隆高相從，其相去八萬里。

冬至之日，雖在外衡，常出極下地上二萬里。天地隆高，高列外衡六萬里。冬至之日，雖在外衡，其相望為平地，直常出地北極下地上二萬里。言日月不相障蔽，故能揚(yáng)光于晝，納明于夜，

故日兆月。

日者陽之精，譬猶火光；月者，隂之精，譬猶水光。月含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽，當(dāng)日即光盈，就日即眀盡，月稟日光而成形兆，故云日兆月也。

月光乃出，故成明月。

待日然后能舒其光，以成其眀，

星辰乃得行列。

靈憲曰：眾星被曜，因水火轉(zhuǎn)光，故能成其行列。是故秋分以徃到冬至，三光之精微以成，其道遠(yuǎn)。日從中衡徃至外衡，其徑日遠(yuǎn)，以其相遠(yuǎn)，故光微。不言從冬至到春分者，俱在中衡之外，其同可知。

此天地隂陽之性自然也。

自然如此，故曰性也。

欲知北極樞璿周四極，

極中不動(dòng)。璿，璣也。言北極璿璣周旋四至。極，至也。

常以夏至夜半時(shí)，北極南游所極，游在樞南之所至。

冬至夜半時(shí)，北游所極，

游在樞北之所至。

冬至日加酉之時(shí)，西游所極，

游在樞西之所至。

日加卯之時(shí)，東游所極，

游在樞東之所至。

此北極璿璣四游，

北極游常近冬至，而言夏至夜半者極見，冬至夜半極不見也。

正北極，璿璣之中。正北，天之中正，極之所游極處。璿璣之中，天心之正，故曰璿璣也。冬至日加酉之時(shí)，立八尺表，以繩系表顚，希望北極中大星，引繩致地而識(shí)之。

顚首。希仰。致，至也。識(shí)之者，所望大星表首及繩至地參相直而識(shí)之也。

又到旦明日加卯之時(shí)，復(fù)引繩希望之，首及繩致地而識(shí)其端，相去二尺三寸。日加卯酉之時(shí)，望至地之相去子也。故東西極二萬三千里，

影寸千里，故為東西所致之里數(shù)也。其兩端相去正東西，

以繩至地，所謂兩端相直，為東西之正也。中折之以指表，正南北。

所識(shí)兩端之中與表為南北之正。加此時(shí)者，皆以漏揆度之。此東西南北之時(shí)，冬至日加卯酉者，北極之正，東西日不見矣。以漏度之者，一日一夜百刻，從半夜至日中，從日中至夜半，無冬夏，常各五十刻，中分之，得二十五刻，加極卯酉之時(shí)。揆亦度也。其繩致地所識(shí)，去表丈三寸，故天之中，去周十萬三千里。

北極東西之時(shí)，與天中齊，故以所望表勾為天之去周之里數(shù)。

何以知其南北極之時(shí)？以冬至夜半北游所極也，北過天中萬一千五百里，以夏至南游所極，不及天中萬一千五百里。此皆以繩系表顚而希望之。北極至地所識(shí)丈一尺四寸半，故去周十二萬四千五百里，過天中萬一千五百里。其南極至地所識(shí)九尺一寸半，故去周九萬一千五百里，其南不及天中萬一千五百里。此璿璣四極南北過不及之法。東西南北之正勾，以表為股，以影為勾繩，至地所亦加矩中，徑二萬六千六百三十二里。有竒法，列八十一萬里，以周東西七十八萬三千三百六十七里有竒減之，余二萬六千六百三十三里。取一里，破為一百五十六萬六千七百三十五分，減一十四萬三千三百一十一，余一百四十二萬三千四百二十四，即徑東西二萬六千六百三十二里一百五十六萬六千七百三十五分里之一百四十二萬三千四百二十四。

周去極十萬三千里。日去人十六萬七千里。夏至去周一萬六千里。夏至日道徑二十三萬八千里。周七十一萬四千里。春秋分日道徑三十五萬七千里。周一百七萬一千里。冬至日道徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千里。日光四極八十一萬里，周二百四十三萬里。從周南三十萬二千里。

影言正勾者，四方之影皆正而定也。

璿璣徑二萬三千里，周六萬九千里。此陽絕隂彰，故不生萬物。

春秋分謂之隂陽之中，而日光所照，適至璿璣之徑，為陽絕隂彰，故萬物不復(fù)生也。其術(shù)曰：立正勾定之，

正四方之法也。

以日始出，立表而識(shí)其晷，日入復(fù)識(shí)其晷。晷之兩端相直者，正東西也。中折之指表者，正南北也。極下不生萬物。何以知之？

以何法知之也？

冬至之日，去夏至十一萬九千里，萬物盡死。夏至之日，去北極十一萬九千里，是以知極下不生萬物。北極左右，夏有不釋之氷，氷凍不解。是以推之，夏至之日，外衡之下為冬矣。萬物當(dāng)死，此日遠(yuǎn)近為冬夏，非隂陽之氣爽，或疑焉。

春分、秋分，日在中衡，春分以徃日益北五萬九千五百里而夏至；秋分，以徃日益南五萬九千五百里而冬至。

并冬至。夏至，相去十一萬九千里。以徃日益北，近中衡；以徃日益南，逺中衡。中衡去周七萬五千五百里，

影七尺五寸五分。

中衡左右，冬有不死之草，夏長(zhǎng)之?。此欲以內(nèi)衡之外，外衡之內(nèi)，常為夏也。然其修廣爽未之前聞。

此陽彰隂微，故萬物不死。五谷一歳再熟，近日陽多，農(nóng)再熟。

凡北極之左右，物有朝生暮獲獲疑作獲，謂葶藶薺麥冬生之類。北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜。物有朝生暮獲者，亦有春芻而秋熟。然其所育，皆是周地冬生之?，薺麥之屬。言左右者，不在璿璣二萬三千里之內(nèi)也。此陽微隂彰，故無夏長(zhǎng)之?。

立二十八宿以周天歷度之法。以，用也。列二十八宿之度，用周天術(shù)。曰：倍正南方。

倍猶背也。正南方者，二極之正南北也。以正勾定之。

正勾之法，日出入識(shí)其晷。晷兩端相直者，正東西，中折之以指表。正南北

即平地，徑二十一歩，周六十三歩，令其平矩以水，正

如定水之平，故曰平矩以水正也。則位徑一百二十一尺七寸五分，因而三之，為三百六十五尺四分尺之一。

徑一百二十一尺七寸五分，周三百六十五尺二寸五分者，四分之一，而或言一百二十尺。舉其全數(shù)，

以應(yīng)周天三百六十五度四分度之一，審定分之，無令有纎。?

所分平地周一尺為一度，二寸五分為四分度之一，其令審定，不欲使有細(xì)小之差也。纎，微細(xì)分也。

臣鸞曰：求一百二十一尺七寸五分，因而三之，為三百六十五度四分度之一。法，列徑一百二十一尺七寸五分，以三乘，得三百六十五尺二寸五分。二寸五分者，即四分之一，此即周天三百六十五度四分度之一。

分度以定，則正督經(jīng)緯，而四分之一，合各九十一度十六分度之五。

南北為經(jīng)，東西為緯。督亦通尺，周天四分之一。又以四乘分母，以法除之。

臣鸞曰：求分度，以定四分之一，合各九十一度十六分度之五。法列周天三百六十五度，以四分度之一而通分內(nèi)之五法，千四百六十一為實(shí)。更以四乘分母，得十六為法，除之得九十一，不盡五，即是各九十一度十六分度之五也。

于是圓定而正，

分所圓為天度。又四分之皆定而正，則立表正南北之中央，以繩系顛，希望牽牛中央星之中，引繩至經(jīng)緯之交以望之，星與表繩參相直也。則復(fù)望須女之星先至者。

復(fù)候須女中，則當(dāng)以繩望之。

如復(fù)以表繩希望須女先至。定中須女之先至者，又復(fù)如上引繩至經(jīng)緯之交以望之。

即以一游儀，希望牽牛中央星出中正表西幾何度。游儀亦表也。游儀移望星為正，知星出中正之表西幾何度，故曰游儀。

各如游儀所至之尺為度數(shù)。

所游分圓周一尺，應(yīng)天一度，故以游儀所至尺數(shù)為度。

游在于八尺之上，故知牽牛八度。須女中而望牽牛，游在八尺之上，故牽牛為八度。

其次星放此，以盡二十八宿度則之矣。皆如此上法定

立。周度者，

周天之度，

各以其所先至游儀度上。

二十八宿不以一星為體，皆以先至之星為正之度。

車輻引繩，就中央之正以為轂，則正矣。以經(jīng)緯之交為轂，以圓度為輻，知一宿得?何度，則引繩如輻，湊轂為正。望星定度，皆以方為正南，知二十八宿為幾何度，然后環(huán)而布之也。

日所以入，亦以周定之，

亦同望星之周。

欲知日之出入，

出入二十八宿東西南北面之宿，列置各應(yīng)其方。立表望之，知日出入何宿，從出入徑幾何度，

即以三百六十五度四分度之一，而各置二十八宿。

以二十八宿列置地所圓周之度，使四面之宿各應(yīng)其方。

以東井夜半中牽牛之?，臨子之中，東井、牽牛相對(duì)之宿也。東井臨午，則牽牛臨于子也。

東井出中正表西三十度十六分度之七，而臨未之中，牽牛?亦當(dāng)臨丑之中。

分周天之度為十二位，而十二辰各當(dāng)其一，所應(yīng)十二月，從午至未三十度十六分度之七，未與丑相對(duì)，而東井、牽牛之所居。分之法巳陳于上矣。

臣鸞曰：求東井出中正表西三十度十六分度之七，法先通周天，得一千四百六十一為實(shí)，以位法十二乘周天分母，以得四十八為法，除實(shí)得三十度，不盡二十一，更副置法。實(shí)等數(shù)平于三，約不盡二十一得七，約法四十八得十六，即位三十度一十六分度之七。

于是天與地恊

恊，合也。置東井、牽牛，使居丑、未相對(duì)，則天之列宿與地所為圖周相應(yīng)合得之矣。乃以置周二十八宿，

從東井、牽牛所居，以置十二位焉。置以定，乃復(fù)置周度之中央，立正表。置周度之中央者，經(jīng)緯之交也。

以冬至、夏至之日，以望日始出也，立一游儀于度上，以望中央表之晷。

從日所出度上，立一游儀，皆望中表之晷。所以然者，當(dāng)矅不復(fù)當(dāng)日，得以覘之也。晷參正，則日所出之宿度，

游儀與中央表及晷參相直，游儀之下，即所出合宿度。

日入放此。

此日出法求之，

牽牛去北極百一十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九、牽牛冬至日所在之宿于外衡者，與極相去之度數(shù)。

術(shù)曰：置外衡去北極樞二十三萬八千里，除璿璣萬一千五百里。

北極常近牽牛為樞，過極萬一千五百里，此求去極，故以除之。

其不除者，二十二萬六千五百里以為實(shí)。以三百乘之里為歩，以周天分一千四百六十一乘歩分內(nèi)衡之度，以周天分為法。法有分，故以周天乘實(shí)齊同之，得九百九十二億七千四百九十五萬，

以內(nèi)衡一度數(shù)千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三以為法。如上乘內(nèi)歩歩為通分。內(nèi)子得八億五千六百八十萬

實(shí)如法得一度。

以八億五千六百八十萬為一度，法不滿法，求里歩

上求度，故以此次求里，次求歩

約之，合三百得一以為實(shí)。

上以三百乘里為歩而求里，故以三百約余分為里之實(shí)。

以千四百六十一分為法，得一里。里、歩皆以周天之分為母，求度當(dāng)齊同法實(shí)等，故乘以散之。度以定當(dāng)次求，故還為法。不滿法者，三之，如法得百歩。上以三百約之，為里之實(shí)。此當(dāng)以三乘之，為歩之實(shí)。而言之者，不欲轉(zhuǎn)法，更以一位為百實(shí)，故從一位命為百也。

不滿法者，又上十之，如法得一歩，又復(fù)上之者，便以一位為一實(shí)，故從一實(shí)為一。不滿法者，以法命之，

位盡于一歩，故以其法命余為殘分。次放此。次婁與角及東井，皆如此也。

臣鸞曰：求牽牛星去極法，先列衡去極樞二十三萬八千里，減極去樞心一萬一千五百里，余二十二萬六千五百里。以三百乘里，得六千七百九十五萬歩。又以周天分一千四百六十一乘之，得九百九十二億七千四百九十五萬歩為實(shí)。更副置內(nèi)衡一度數(shù)一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三。亦以三百乘一千九百五十四里為歩，內(nèi)二百四十七歩得五十八萬六千四百四十七歩。又以周天分母千四百六十一乘歩內(nèi)子九百三十三，得八億五千六百八十萬為法。以除實(shí)，得一百一十五度，不盡七億四千二百九十五萬。去下法不用。更以三百約余分七億四千二百九十五萬，得二百四十七萬六千五百為實(shí)。更以周天分千四百六十一除之，得一千六百九十五里，不盡一百五，以三百乗之，得三萬一千五百，復(fù)以前法除之，得二十一歩，不盡八百一十九，即牽牛去北極一百二十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九。

婁與角去北極九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六。婁，春分日所在之宿也。角，秋分日所在之宿也，為中衡也。術(shù)曰：置中衡去北極樞十七萬八千五百里以為實(shí)。

不言加除者，婁與角準(zhǔn)北極，在樞兩旁，正與樞齊，以?shī)洹⒔菬o差，故便以去樞之?dāng)?shù)為實(shí)。如上乗里為歩，歩為分，得七百八十二億三千六百五十五萬。

以內(nèi)衡一度數(shù)為法。實(shí)如法得一度，不滿法者求里歩，不滿法者，以法命之。

臣鸞曰：求婁與角去極法，列中衡去極樞十七萬八千五百里，以三百乗之，得五千三百五十五萬歩。又以周天分千四百六十一分乘之，得七百八十二億三千六百五十五萬為實(shí)，以內(nèi)衡一度數(shù)千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三。亦以三百乘里內(nèi)歩二百四十七，得五十八萬六千四百四十七歩。又以分毋千四百六十一分乗之，內(nèi)子得八億五千六百八十萬為法，以除實(shí)得九十一度，不盡二億六千七百七十五萬，以三百約之，得八十九萬二千五百，下法不用，以周天分千四百六十一除之，得六百一十里，不盡千二百九十，以三百乗之，得三十八萬七千，如前法除之，得二百六十四歩，不盡一千二百九十六，即是

婁與角。去極九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六。東井去北極六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之千二百四十五。東井夏至日所在之宿為內(nèi)衡。

術(shù)曰：置內(nèi)衡去北極樞十一萬九千里，加璿璣萬一千五百里，

北極游常近東井為樞，不及極萬一千五百里，此求去極，故加之。

得十三萬五百里以為實(shí)。如上乘里為歩，歩為分，得五百七十一億九千八百一十五萬分。

以內(nèi)衡一度數(shù)為法，實(shí)如法得一度，不滿法者，求里歩，不滿者，以法命之。

臣鸞曰：求東井去極法，列內(nèi)衡去極樞十一萬九千里，加璿璣萬一千五百里，得十三萬五百里。以三百乘里為歩，復(fù)以分毋千四百六十一乘之，得五百七十一億九千八百一十五萬為實(shí)。通分內(nèi)衡一度數(shù)為歩，歩為分，得八億五千六百八十萬為法，以除實(shí)，得六十六度，不盡六億四千九百三十五萬。以三百約之，得二百一十六萬四千五百，下法不用。更以周天千四百六十一為法除之，得千四百八十一里，不盡七百五十九。以三百乘之，得二十二萬七千七百，復(fù)以周天分除之，得一百五十五歩，不盡一千二百四十五，即是

東井，去北極六十六度，千四百八十一里一百五十五歩。千四百六十一分歩之一千二百四十五。

凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一。

冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至晷長(zhǎng)一尺六寸。問次節(jié)損益寸數(shù)，長(zhǎng)短各幾何？

冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸，

小寒丈二尺五寸，

大寒丈一尺五寸一分，

立春丈五寸二分，雨水九尺五寸二分，

啟蟄八尺五寸四分，

春分七尺五寸五分，

清明六尺五寸五分，

榖雨五尺五寸六分，

立夏四尺五寸七分，

小滿三尺五寸八分，

芒種二尺五寸九分，

夏至一尺六寸，小暑二尺五寸九分，

大暑二尺五寸八分，

立秋四尺五寸七分，

處暑五尺五寸六分，

自露六尺五寸五分，

秋分七尺五寸五分，

寒露八尺五寸四分，

霜降九尺五寸三分，

立冬丈五寸二分，小雪丈一尺五寸一分，

大雪，丈二尺五寸。

凡為八節(jié)。二十四氣。

二至者，寒暑之極；二分者，隂陽之和；四立者，生長(zhǎng)収藏之始，是為八節(jié)。節(jié)三氣，三而八之，故為二十四

氣。損益九寸九分六分分之一，

損者，減也。破一分為六分，然后減之。益者，加也。以小分滿六得一從分，冬至、夏至為損益之始。

冬至晷長(zhǎng)，極當(dāng)反短，故為損之始。夏至晷短，極當(dāng)反長(zhǎng)，故為益之始。此爽之新

術(shù)。

術(shù)曰：置冬至晷，以夏至晷減之，余為實(shí)，以十二為法。

十二者，半歳十二氣也。為法者，一節(jié)益之法。實(shí)如法得一寸，不滿法者十之。以法除之得一分，求分，故十之也。不滿法者，以法命之，

法與余分皆半之也。舊晷之術(shù)，于理未當(dāng)。謂春秋分者，隂陽晷等各七尺五寸五分，故中衡去周七萬五千五百里。按春分之影，七尺五寸七百二十三分，秋分之影，七尺四寸二百六十二分，差一寸四百六十一分。以此推之，是為不等。冬至至小寒，多半日之影。夏至至小暑。少半日之影。芒種至夏至。多二日之影。大雪至冬至多三日之影。又半歳一百八十二日八分日之五。而此用四分日之二率。故一日得七百三十分寸之四百七十六。非也。節(jié)候不正，十五日有二十二分日之七，以一日之率，十五日為一節(jié)，至令差錯(cuò)，不通尤甚。易曰：舊井無禽，時(shí)舎也。言法三十日，實(shí)當(dāng)改而舎之。于是爽更為新術(shù)，以一氣率之，使言約法易，上下相通，周而復(fù)始，除紕繆。臣鸞曰：求二十四氣損益之法，先置冬至影長(zhǎng)丈三尺五寸，以夏至影一尺六寸減之，余一丈一尺九寸上十之為實(shí)，以半歳十二為法。除之得九寸，不盡十一，復(fù)上十之，如法而一，得九分，不盡二與法十二皆半之，得六分之一，即是氣損益法。先置冬至影長(zhǎng)丈三尺五寸，以氣損益九寸九分六分分之一，其破一分以為六分，減其余，即是小寒影長(zhǎng)丈二尺五寸小分五，余悉依此法。求益法：置夏至影一尺六寸，以九寸九分六分分之一増之，小分滿六從大分一，即是小暑二尺五寸九分小分一。次氣倣此。

臣淳風(fēng)等謹(jǐn)按。此術(shù)本及趙君卿注求二十四氣影例，損益九寸九分六分分之一，以為定率。檢勘術(shù)注，有所未通。又按宋書歷志所載何承天元嘉歷影冬至一丈三尺，小寒一丈二尺四寸八分，大寒一丈一尺三寸四分，立春九尺九寸一分，雨水八尺二寸八分，啟蟄六尺七寸二分。春分五尺三寸九分。清明四尺二寸五分。谷雨三尺二寸五分。立夏二尺五寸。小滿一尺九寸七分。芒種一尺九寸九分。夏至一尺五寸。小暑一尺六寸九分。大暑一尺九寸七分。立秋二尺五寸。處暑三尺三寸五分。白露四尺二寸五分。秋分，五尺三寸九分。寒露，六尺七寸二分。霜降，八尺二寸八分。立冬，九尺九寸一分。小雪，一丈一尺三寸四分。大雪，一丈二尺四寸八分。司馬續(xù)漢志所載四分暦影，亦與此相近。至如祖沖之歷、宋大明歷影與何承天雖有小差，皆是量天實(shí)數(shù)。讐校三歷，足驗(yàn)君卿所立率虛誕。且周?本文外衡，下于天中六萬里，而二十四氣率乃足平遷。所以知者，按望影之法，日近影短，日遠(yuǎn)影長(zhǎng)。又以高下言之，日高影短，日卑影長(zhǎng)。夏至之日，最近北，又最高，其影尺有五寸。自此以后，曰行漸遠(yuǎn)，向南，天體又漸向下，以及冬至。冬至之日最近南，居于外衡，日最近下，故日影一丈三尺。此當(dāng)毎歳差降有別，不可均為一槩設(shè)其升降之理。今此又自冬至畢于芒種，自夏至畢于大雪，均差毎氣損九寸有竒，是為天體正平，無高卑之異，而日但南北均行，又無升降之殊，即無內(nèi)衡高于外衡六萬里，自相矛楯。又按尚書考靈曜所陳格上格下里數(shù)及鄭注升降逺近，雖有成?，亦未臻理實(shí)。欲求至當(dāng)，皆依天體高下遠(yuǎn)近修?以定差數(shù)。自霜降畢于立春，升降差多，南北差少。自雨水畢于寒露，南北差多，升降差少。依此推歩，乃得其實(shí)。然事渉渾儀，與蓋天相返。

月后天十三度十九分度之七。

月后天者，月東行也。此見日月與天俱西南游，一日一夜天一周，而月在昨宿之東，故曰后天，又曰章歳。除章月加日周一日作率，以一日所行為一度，周天之日為天度。術(shù)曰：置章月二百三十五，以章歳十九除之，加日行一度，得十三度十分九度之七。此月一日行之?dāng)?shù)，即后天之度及分。

臣鸞曰：月后天十三度十九分度之七。法列章月二百三十五，以章歳十九除之，得十二度，加日行一度，得十三度，余十九分度之七，即月后天之度分。

小歳月不及，故舍三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。小歳者，十二月為一歳。一歳之月，十二月則有余，十三月復(fù)不足。而言大小歳通閠月為不及，故舍亦猶后天也。假令十一月朔旦冬至，日月俱起牽牛之?，而月十二與日會(huì)，此數(shù)月發(fā)牽牛所行之度也。

術(shù)曰：置小歳三百五十四日九百四十分日之三百四十八。

小歳者，除經(jīng)歳十九分月之七，以七乘周天分千四百六十一，得萬二百二十七，以減經(jīng)歳之積分，余三十三萬三千一百八，則小歳之積分也。以九百四十分除之，即得小歳之積日及分。

以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)。通分內(nèi)子為二百五十四之。乘者，乘小歳積分也。

又以度分母乘日分母為法。實(shí)如法，得積后天四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百一十三。以月后天分乘小歳積分，得八千四百六十萬九千四百三十二，則積后天分也。以度分母十九乘日分母九百四十，得萬七千八百六十除之，即得。

以周天三百六十五度萬七千八百六十分度之四千四百六十五除之，

此猶四分之一也，約之即得，當(dāng)于齊同，故細(xì)言之。通分內(nèi)子為六百五十二萬三千三百六十五，除積后天分得十二周天，即去之。其不足除者，

不足除者不及故舎之，六百三十二萬九千五十二是也。

此月不及故舎之。分度數(shù)，他皆放此。次至經(jīng)月皆如此。

臣鸞曰：求小歳月不及，故舍法，列經(jīng)歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分內(nèi)子，得三十四萬三千三百三十五，是為經(jīng)歳之積分。以十九分月之七，以七乘周天分一千四百六十一，得萬二百二十七，以減經(jīng)歳積分，不盡三十三萬三千一百八，小歳積分也。以九百四十除之，得三百五十四日，不盡三百四十八，還通分內(nèi)子，復(fù)得本積分三十三萬三千一百八。更置月后天十三度十九分度之七，通分內(nèi)子，得二百五十四，以乘本積分，得積后天分八千四百六十萬九千四百三十二為實(shí)。更列月后天分毋十九，以乘日分母九百四十，得萬七千八百六十為法。除之，得積后天四千七百三十七度，不盡六千六百一十二，即是得四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。還通分內(nèi)子，得本分八千四百六十萬九千四百三十二為實(shí)。更列周天三百六十五度萬七千八百六十分度之四千四百六十五，即通分內(nèi)子，得六百五十二萬三千三百六十五。以除實(shí)得十二。下法不用，余分即不及，故舎之分六百三十二萬九千五十二。更以日月分毋相乘，得萬七千八百六十為法，除分不及故舎之分六百三十二萬九千五十二，得三百五十四度。不盡六千六百一十二，即不及故舍三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。

大歳月不及，故舎十八度萬七千八百六十分度之萬一千六百二十八。

大歳者，十三月為一歳也。

術(shù)曰：置大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七。

大歳者，加經(jīng)歳十九分月之十二，以十二乘周天分千四百六十一，得萬七千五百三十二，以加經(jīng)歳積分、得三十六萬八百六十七、則大歳之積分也。以七百四十除之、即得。以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)。又以度分母乘日分，毋為法。實(shí)如法得積后天五千一百三十二度萬七千八百六十分度之二千六百九十八。

此月后天分。乘大歳積分，得九千一百六十六萬二百一十八，則積后天分也。以周天除之，

除積后天分得十四，周天即去之。其不足除者，

不足除者，三十三萬三千一百八是也。此月不及，故舎之分度數(shù)。

臣鸞曰：求大歳月不及，故舎法。列經(jīng)歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分內(nèi)子，得經(jīng)積分三十四萬三千三百三十五。更以十九分月之十二，乘周天分千四百六十一，得一萬七千五百三十二。以經(jīng)歳積分加大歳積分，得三十六萬八百六十七為實(shí)。以九百四十除之，得大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七。還通分內(nèi)子本分三十六萬八百六十七。更列月后天十三度十九分度之七。通分內(nèi)子得二百五十四，以乘本分，得積后天分九千一百六十六萬二百一十八為實(shí)，以萬七千八百六十為法，除之，得積。后天度五千一百三十二，不盡二千六百九十八，即命分。還通內(nèi)子，得本積。后天分九千一百六十六萬二百一十八為實(shí)，以周天分六百五十二萬三千三百六十五為法，除實(shí)，得十四周天之?dāng)?shù)。余以日月分母萬七千八百六十除之，得

大歳不及，故舎十八度。不盡萬一千六百二十八，即以命分也。

經(jīng)歳月不及，故舍百三十四度萬七千八百六十分度之萬一百里。

經(jīng)常也。即十二月十九分月之七也。

術(shù)曰：置經(jīng)歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五。經(jīng)歳者，通十二月十九分月之七，為二百三十五。乘周天千四百六十一，得三十四萬三千三百三十五，則經(jīng)歳之積分。又以周天分毋四乘二百三十五，得九百四十為法，除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，為實(shí)。又以度分母乘日分母為法。實(shí)如法，得積后天四千八百八十二度萬七千八百六十分度之萬四千五百七十。以月后天分乘經(jīng)歳積分，得八千七百二十萬七千九十，則積后天之分。

以周天除之，

除積后天分得十三，周天即去之。其不足除者，

不足除者，二百四十萬三千三百四十五是也。此月不及，故舎之分度數(shù)。

臣鸞曰：求

經(jīng)歳月不及，故舍法列十二月十九分月之七，通分內(nèi)子得二百三十五，以乘周天分千四百六十一，得三十四萬三千三百三十五，即經(jīng)歳分也。以日分母四乘二百三十五，得九百四十為法，以除，得經(jīng)歳三百六十五日。不盡二百三十五，即命分。還通分內(nèi)子，即復(fù)本歳分三十四萬三千三百三十五。更列通月后天度分二百五十四，以乘經(jīng)歳分，得積后天分八千七百二十萬七千九十為實(shí)。更列萬七千八百六十除實(shí)，得積后天度四千八百八十二，不盡萬四千五百七十，即命分。還通分內(nèi)子復(fù)本積后天分為實(shí)。以周天分六百五十二萬三千三百六十五除實(shí)得十三周天，即去之。余分三百四十萬三千三百四十五，以萬七千八百六十除之，得不及，故舎百三十四度，不盡萬一百五，即以命分也。

小月不及，故舍二十二度萬七千八百六十分度之七千七百三十五。

小月者，二十九日為一月，一月之二十九日則有余，三十日復(fù)不足。而言大小者，通其余分。

術(shù)曰：置小月二十九日。

小月者，減經(jīng)月之積分四百九十九，余二萬七千二百六十，則小月之積也。以九百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，為實(shí)。又以度分毋乘日分，毋為法。實(shí)如法，得積后天三百八十七度萬七千八百六十分度之萬二千二百二十。

以月后天乘小月積分，得六百九十二萬四千四十，則積后天之分也。

以周天分除之，

除積后天分，得一周天而去之，

其不足除者，

不足除者四十萬六百七十五。此月不及，故舎之分度數(shù)。

臣鸞曰：求小月不及，故舎法置二十九日，以九百四十乘之，得二萬七千二百六十，則小月之分也。更列月后天十三度十九分度之七，通分內(nèi)子，得二百五十四，以乘小月分，得六百九十二萬四千四十為實(shí)。以萬七千八百六十為法，除實(shí)得三百八十七度，不盡萬二千二百二十，以命分，還通分，內(nèi)子，得本實(shí)。更列周天分六百五十二萬三千三百六十五，除本實(shí)，得一周天。不盡四十萬六百七十五，即不及故舎之分。又以萬九千八百六十除不及故舎之分，得二十二度。不盡七千七百三十五，即以命分，

大月不及，故舎三十五度萬七千八百六十分度之萬四千三百三十五。

大月者，三十日為一月也。

術(shù)曰：置大月三十日，大月加經(jīng)積分四百四十一，得二萬八千二百，則大月之積分也。以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乘之，為實(shí)。又以度分毋乘日分，毋為法。實(shí)如法。得積后天四百一度萬七千八百六十分度之九百四十。以月后天分乘大月積分七百一十六萬二千八百，則積后天之分也。

以周天除之，

除積后天分，得一周天，即去之。其不足除者，

不足除者，六十三萬九千四百三十五是也。此月不及，故舎之分度數(shù)。

臣鸞曰：求大月不及，故舎法。置三十日，以九百四十乘之，得二萬八千二百，以后天分二百五十四乘之，得七百一十六萬二千八百為實(shí)，以萬七千八百六十為法，以除實(shí)，得四百一度，不盡九百四十，即以命分還通分內(nèi)子，復(fù)本實(shí)，更以周天六百五十二萬三千三百六十五為法，除本實(shí)得一周。余不足，除積六十三萬九千四百三十五分。以萬七千八百六十為法，以除實(shí)得大月不及，故舎三十五度。不盡萬四千三百三十五，即命分也。

經(jīng)月不及，故舎二十九度、萬七千八百六十分度之九千四百八十一。

經(jīng)，常也。常月者，一月月與日合數(shù)。

術(shù)曰：置經(jīng)月二十九日九百四十分日之四百九十九

經(jīng)月者，以十九乘周天分一千四百六十一，得二萬七千七百五十九，則經(jīng)月之積。以九百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)。又以度分母乘日分母為法。實(shí)如法。得積后天三百九十四度萬七千八百六十分度之萬三千九百四十六。

以月后天分乘經(jīng)月積分，得七百五萬七百八十六，則積后天之分。

以周天除之，

除積后天分，得一周天，即去之。

其不足除者，

不足除者，五十二萬七千四百二十一是也。此月不及，故舎之分度數(shù)。

臣鸞曰：求經(jīng)月不及，故舎法以十九乘周天分千四百六十一，得二萬七千七百五十九，即經(jīng)月積分。以九百四十除積分，得經(jīng)月二十九日九百四十分日之四百九十九。還通分內(nèi)子，得本經(jīng)月積分。以后天分乘本積分，得七百五萬七百八十六，即后天之積分。更以萬七千八百六十除之，得積后天三百九十四度。不盡萬三千九百四十六，即以命分還通分內(nèi)子，得本后天積分為實(shí)。以周天六百五十二萬三千三百六十五除之，得一周。余分五十二萬七千四百二十一，即不及故舎之分。以一萬七千八百六十除之，得

經(jīng)月。不及故舎二十九度。不盡九千四百八十一，即以命分，

冬至?xí)儤O短，日出辰而入申，如上日之分入何宿法，分十二辰于地所圓之周舎，相去三十度十六分度之七。子午居南北，卯酉居?xùn)|西。日出入時(shí)，立一游儀，以望中央表之晷。游儀之下，即日出入。陽照三不覆九。陽，日也。覆猶徧也。照三者，南三辰，已午未，東西相當(dāng)，正南方。

日出入相當(dāng)，不覆三辰，為正南方。夏至?xí)儤O長(zhǎng)，日出寅而入戍，陽照九不覆。三不覆三者，北方三辰，亥、子丑，冬至日出入之三辰屬晝，晝夜互見，是出入三辰，分為晝夜各半明矣。考靈曜曰：分周天為三十六頭，頭有十度九十六分度之十四。長(zhǎng)日分于寅，行二十四頭，入于戍，行十二頭；短日分于辰，行十二頭，入于申，行二十四頭。此之謂也。東西相當(dāng)，正北方，

出入相當(dāng)，不覆三辰，為北方。

日出左而入右，南北行。

圣人南面而治天下，故以東為左，西為右。日冬至從南而北，夏至從北而南，故曰南北行，

故冬至從坎，陽在子，日出巽而入坤，見日光少，故曰寒。

冬至十一月，斗建子，位在北方，故曰從坎?？惨啾币?，陽氣所始，故曰在子。巽東南，坤西南，日見少晷，陽照三，不覆九也。

夏至從離，隂在午，日出艮而入乾，見日光多，故曰暑。

夏至五月，斗建午，位在南方，故曰在午。艮東北，乾西北，日見多晷，陽照九，不覆三也。日月失度，而寒暑相奸。

考靈曜曰：在璿璣玉衡，以齊七政。璿璣未中而星中，是急；急則日過其度，不及其宿。璿璣玉衡中而星未中，是舒；舒則日不及其度，夜月過其宿。璿璣中而星中，是周。周則風(fēng)雨時(shí)，風(fēng)雨時(shí)，則草木蕃盛，而百谷熟。故書曰：急常寒若，舒常燠若。急舒不調(diào)，是失度，寒暑不時(shí)，即相奸。

徃者，詘來者，信也，故屈信相感。

從夏至南往，日益短，故曰詘；從冬至北來，日益長(zhǎng)，故曰信。言來往相推，詘信相感，更衰代盛，此天之常道。易曰：日徃則月來，月徃則日來，日月相推而明生焉。寒徃則暑來，暑徃則寒來，寒暑相推而歳成焉。徃者，詘也。來者，信也。詘信相感而利生焉。此之謂也。故冬至之后日右行，夏至之后日左行。左者徃，右者來。

冬至日出從辰來北，故曰右行。夏至日出從寅徃南，故曰左行。

故月與日合為一月，

從合至合則為一月，日復(fù)日為一日，

從旦至旦則為一日，

日復(fù)星為一歲。

冬至日出在牽牛，從牽牛周牽牛，則為一歲也。外衡冬至，

日在牽牛；

內(nèi)衡夏至，

日在東井。六氣復(fù)返，皆謂中氣。

中氣，月中也。言日月徃來，中氣各六。傳曰：先王之正時(shí)，履端于始，舉正于中，歸余于終。謂中氣也。

隂陽之?dāng)?shù)，日月之法，

謂隂陽之度數(shù)。日月之法，

十九歲為一章。

章，條也。言閏余盡為法章條也。乾象曰：辰為歲中，以御朔之月而納焉。朔為章中，除朔為章月，月差為閏。

臣鸞曰：歲中除章中為章歳。求余法，置中氣相去三十日十六分日之七，通分內(nèi)子，得四百八十七。又置從朔至朔一月之日二十九，九百四十分日之四百九十九，通之，得二萬七千七百五十九。二者法異，當(dāng)同之者，以中氣分母十六乘朔分，得四十四萬四千一百四十四，變?yōu)橹袣夥e分也。以朔分母九百四十乘中氣分，得四十五萬七千七百八十，為朔日積分。以少減多，求等數(shù)平之，得一千九百四十八為法。除中氣積，得二百二十八，即章中也。更以一千九百四十八除朔積分，得二百三十五，即章月也。章月與章中差七，即一章之閏。更置二百二十八，以歲中十二除之，得十九為章歲也。更置章月二百三十五，以章歲十九除之，得十二月十九分月之七，即一年之月也。四章為一蔀，七十六歲，

蔀之言齊，同日月之分為一蔀也。一歲之月，十二月十九分月之七，通分內(nèi)子得二百三十五。一歲之日，三百六十五日四分日之一。通之得一千四百六十一。分母不同，則子不齊，當(dāng)互乘之。以齊同之者，以日分母四乘月分，得九百四十即一蔀之月。以月分母十九乘日分，得二萬七千七百五十九，即一蔀之日。以日月分母相乘，得七十六，得一蔀之歲。以一歲之月除蔀月，得七十六歲。又以一歲之日除蔀日，亦得七十六矣。歲月余既終，日分又盡，眾殘齊合，群數(shù)畢滿，故謂之蔀。臣鸞曰：求蔀法，列章歲十九，以四乘之，得一蔀七十六歲。求一蔀之月法，十二月十九分月之七，通分內(nèi)子，得二百三十五，即月分也。更列一歲三百六十五日四分日之一，通分內(nèi)子，得一千四百六十一。以日分母四乘月分，得九百四十，即一蔀之月。以月分母十九乘日分，得二萬七千七百五十九，即一蔀之日。以日分毋四乘月分母十九，得七十六即一蔀之歲。更以月分母十九乘蔀月九百四十，得萬七千八百六十為實(shí)。以十二月十九分月之七通分內(nèi)子得二百三十五為法。以除實(shí)，得七十六，亦一蔀之歲也。更列一蔀之日二萬七千七百五十九，以分母四乘之，得十一萬一千三十六為實(shí)。以周天分千四百六十一除之，得一蔀之歲七十六也。

二十蔀為一遂，遂千五百二十歲。遂者，竟也。言五行之德，一終竟極，日月辰終也。乾鑿度曰：至德之?dāng)?shù)，先立金木水火土五，凡各三百四歲。五德運(yùn)行，日月開辟，甲子為蔀首，七十六歲。次得癸卯，蔀，七十六歲。次壬午，蔀，七十六歲；次辛酉，蔀，七十六歲。凡三百四歲，木德也，主春生。次庚子，蔀，七十六歲；次已卯，蔀，七十六歲；次戊午，蔀，七十六歲；次丁酉，蔀，七十六歲。凡三百四歲，金德也，主秋成。次丙子，蔀，七十六歲；次乙卯蔀，七十六歲。次甲午蔀，七十六歲。次癸酉蔀，七十六歲。凡三百四歲，火德也，主夏長(zhǎng)。次壬子蔀，七十六歲。次辛卯蔀，七十六歲。次庚午蔀，七十六歲。次巳酉蔀，七十六歲。凡三百四歲，水德也，主冬藏。次戊子蔀，七十六歲。次丁卯蔀，七十六歲；次丙午蔀，七十六歲。次乙酉蔀，七十六歲。凡二百四歲，土德也，主致養(yǎng)。其德四正，子午卯酉而朝四時(shí)焉。凡一千五百二十歲，終一紀(jì)，復(fù)甲子，故謂之遂也。求五德日名之法，置一蔀者七十六歲，德四蔀，因而四之，為三百四歲。以一歲三百六十五日四分日之一乘之，為十一萬一千三十六。以六十去之，余三十六，命甲子，算外，得庚子。金德也。求次德，加三十六去之，命如前，則次德日也。求算蔀名，置一章歲數(shù)，以周天分乘之，得二萬七千七百五十九。以六十去之，余三十九，命以甲子，算外，得癸卯蔀。求蔀，加三十九，滿六十去之，命如前，得次蔀。

臣鸞曰：求遂法，列一蔀七十六歲，以二十乘之，得千五百二十歲，即以遂之歲。求五德，金木水火土法，列一蔀七十六歲，以周天分千四百六十一乘之，得十一萬一千三十六即，以六十除之，余三十六，命從甲子，算外得庚子，凡三百四歲，主秋成，金德也。加三十六，得七十二，以六十除之，余十二，命從甲子，算外得丙子，凡三百四歲，火德，主夏長(zhǎng)。次放此。求蔀名，列一章十九歲，以周天分一千四百六十一歲乘之，得二萬七千七百五十九，以六十去之，余三十九，命從甲子，算外，得癸卯蔀。七十六歲，復(fù)加三十九，亦六十去之，余十八，命亦起甲子，算外，次得壬午。蔀次放此。至甲子即止。之三，遂為一首。首，四千五百六十歲。首，始也。言日月五星終而復(fù)始也?？检`曜曰：日月首甲子，冬至，日月五星俱起牽牛?，日月合若璧，五星如聯(lián)珠，青龍甲寅攝提格，并四千五百六十歲，積及?，故謂首也。臣鸞曰：求一首法，列遂一千五百二十歲，三之得一首，四千五百六十歲也。七首為一極，極三萬一千九百二十歲，生數(shù)皆終，萬物復(fù)始。

極，終也。言日月星辰，弦望晦朔，寒暑推移，萬物生育皆復(fù)始，故謂之極。

臣鸞曰：求極先列一首四千五百六十，以以七乘之，得一極，三萬一千九百二十歲也。天以更元作紀(jì)，歷

元始作為七紀(jì)法。天數(shù)更始，復(fù)為法述之。

何以知天三百六十五度四分度之一，而日行一度，而月后天十三度十九分度之七，二十九日九百四十分日之四百九十九為一月，十二月十九分月之七為一歲，

非周?本文，蓋人問師之辭。其欲知度之所分，法術(shù)之所生耳。

周天除之，

除積后天分得一。周即棄之，

其不足除者，如合朔。古者包犧、神農(nóng)制作為歷度元之。始見三光，未如其則。

三光，日、月、星。則，法也。

日月列星，未有分度，則星之?列，謂二十八宿也。

日主晝，月主夜，晝夜為一日。日月俱起建星，建六星在斗上也。日月起建星，謂十一月朔旦冬至日也。為歷術(shù)者，度起牽牛前五度，則建星其近也。

月度疾，日度遲。

度，日月所行之度也。

日月相逐于二十九日、三十日間，言日月二十九日則未合。三十日復(fù)相過，而日行天二十九度。余

如九百四十分日之四百九十九，未有定分，

未知余分定幾何也。

于是三百六十五日南極影長(zhǎng)，明日反短。以歲終日影反長(zhǎng)，故知之三百六十五日者三，三百六十六日者一

影四歲而后知差一日，是為四歲共一日，故歲得四分日之一。故知一歲三百六十五日四分日之一，歲終也。月積后天十三周，又與百三十四度余，經(jīng)數(shù)月后天之周，故度求之。余者，未知也，言欲求之也。

無慮后天十三度十九分度之七，未有定。無慮者，粗計(jì)也。此巳得月后天數(shù)，而言未有者，求之意未有見故也。

于是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合于建星，月行一月，則行過一周而與日合。七十六歲九百四十周天，所過復(fù)九百四十日七十六周。并之得一千一十六，為一月后天率分盡度終，復(fù)還及?也。

臣鸞曰：求于是日行天七十六周，日行天千一十六周及合于建星法，以九百四十周并七十六周，得一千一十六周，則日月氣朔合于建星。

置月行后天之?dāng)?shù)，以日后天之?dāng)?shù)除之，得一十三度十九分度之七，則月一日行天之度。以日度行率除月行率，一日，得月度幾何？置月行率一千一十六為實(shí)，日行率七十六為法。實(shí)如法而一，法及余分皆四約之，與乾象同歸而殊途，義等而法異也。

復(fù)置七十六歲之積月，

置章歲之月二百三十五，以四乘之，得九百四十，則蔀之積月也。

以七十六歲除之，得十二月十九分月之七，則一歲之月。

亦以四約法除分。蔀歲除月與章歲除章月同。

置周天度數(shù)，以十二月十九分月之七除之，得二十九日九百四十分日之四百九十九，則一月日之?dāng)?shù)，

通周天四分日之一，為千四百六十一，通十二月十九分月之七，為二百三十五分。母不同，則子不齊，當(dāng)互乘以同齊之。以十九乘千四百六十一，為二萬七千七百五十九。以四乘二百三十五，為九百四十。及以除之，則月與日合之?dāng)?shù)。

臣鸞曰：求日行一度法，還置前一千一十六，以七十六歲除之，得十三度，不盡二十八，以求等，平于四，以四約余得七，約分得十九，是十三度十九分度之七。更列一章歲積月二百三十五，以周天分母四乘之，即一蔀月九百四十，亦以七十六歲除之，得一歲之十二月十九分月之七。余分及法并以四約。更通周天，得千四百六十一。復(fù)通十二月十九分月之七，得二百三十五。分母不同，互乘之，以月分母十九乘日分，得二萬七千七百五十九。以日分母四乘月分，得九百四十，除之二萬七千七百五十九，得二十九日九百四十分日之四百九十九，而月與日合，此其數(shù)也。周?算經(jīng)卷下。