算法理解|從頭開始理解梯度提升算法
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作者：Prince Grover
編譯：ronghuaiyang
動機(jī)
盡管大多數(shù)的Kaggle競賽的獲勝者使用了多個(gè)模型的集成，這些集成的模型中，有一個(gè)必定是各種變體的梯度提升算法。舉個(gè)例子，Kaggle競賽：Safe Driver Prediction：https://www.kaggle.com/c/porto-seguro-safe-driver-prediction/discussion/44629#250927，Michael Jahrer的方案，使用了表示學(xué)習(xí)，使用了6個(gè)模型的綜合。1個(gè)LightGBM和5個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。盡管他的成功歸功他使用了結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)進(jìn)行了半監(jiān)督學(xué)習(xí)，梯度提升算法也實(shí)現(xiàn)了非常重要的部分。
盡管GBM使用的非常廣泛，許多使用者仍然把這個(gè)東西當(dāng)做一個(gè)黑盒子算法，只是使用預(yù)編譯好的庫跑一跑。寫這篇文章的目的是簡化復(fù)雜的算法，幫助讀者可以直觀的理解算法。我會解釋原汁原味的梯度提升算法，然后分享一些變種的鏈接。我基于fast.ai的庫做了一個(gè)決策樹的代碼，然后構(gòu)建了一個(gè)自己的簡單的基礎(chǔ)的梯度提升模型。
Ensemble, Bagging, Boosting的簡單描述
當(dāng)我們使用一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)來預(yù)測目標(biāo)變量的時(shí)候，造成實(shí)際值和預(yù)測值之間的差別的原因有噪聲，方差和偏差。集成方法能夠幫助減少這些因素（除了噪聲，不可約誤差）。
Ensemble是幾個(gè)預(yù)測器在一起（比如求平均），給出一個(gè)最終的結(jié)果。使用ensemble的原因是許多不同的預(yù)測器預(yù)測同一個(gè)目標(biāo)會比單個(gè)預(yù)測器的效果要好。Ensemble技術(shù)又可以分成Bagging和Boosting。
Bagging是一個(gè)簡單的ensemble的技術(shù)，我們構(gòu)建許多獨(dú)立的預(yù)測器/模型/學(xué)習(xí)器，通過模型平均的方式來組合使用。（如權(quán)值的平均，投票或者歸一化平均）
我們?yōu)槊總€(gè)模型使用隨機(jī)抽樣，所以每個(gè)模型都不太一樣。每個(gè)模型的輸入使用有放回的抽樣，所以模型的訓(xùn)練樣本各不相同。因?yàn)檫@個(gè)技術(shù)使用了許多個(gè)不相關(guān)的學(xué)習(xí)器來進(jìn)行最終的預(yù)測，它通過減少方差來減小誤差。bagging的一個(gè)例子是隨機(jī)森林模型。
Boosting 在對模型進(jìn)行ensemble的時(shí)候，不是獨(dú)立的，而是串行的。
這個(gè)技術(shù)使用了這樣的邏輯，后面的預(yù)測器學(xué)習(xí)的是前面的預(yù)測器的誤差。因此，觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)在后面模型中的概率是不一樣的，誤差越大，出現(xiàn)的概率越高。（所以觀測數(shù)據(jù)不是基于隨機(jī)又放回抽樣bootstrap的方式，而是基于誤差）。預(yù)測器可以從決策樹，回歸器，分類器中選取。因?yàn)樾碌念A(yù)測器是從前面的預(yù)測器的誤差中學(xué)習(xí)的，接近實(shí)際的預(yù)測只需要更少的時(shí)間和迭代次數(shù)。但是我們不得不選擇嚴(yán)格的停止策略，否則可能會出現(xiàn)過擬合。梯度提升算法就是提升算法的一個(gè)例子。
Fig 1. Ensembling
Fig 2. Bagging (independent models) & Boosting (sequential models). Reference: https://quantdare.com/what-is-the-difference-between-bagging-and-boosting/
梯度提升是一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)，用來做回歸和分類的問題，通過組合弱預(yù)測模型如決策樹，來得到一個(gè)強(qiáng)預(yù)測模型。（維基百科定義）
監(jiān)督學(xué)習(xí)算法的目標(biāo)是定義一個(gè)損失函數(shù)，然后最小化它。我們來看看，數(shù)學(xué)上梯度提升算法是怎么工作的。比如我們使用均方誤差（MSE）作為損失函數(shù)：
我們希望我們的預(yù)測讓我們的損失函數(shù)最小。通過使用梯度提升算法，基于一個(gè)學(xué)習(xí)率來更新我們的預(yù)測，我們會發(fā)現(xiàn)一個(gè)讓MSE最小的值。
所以，我們基本上是在更新預(yù)測，讓殘差的和接近于0（或者最?。?，這樣預(yù)測的值就和實(shí)際的值足夠的接近了。
梯度提升背后的邏輯很簡單，（可以很直觀的理解，不用數(shù)據(jù)公式）。我希望讀這篇文章的人能夠熟悉一下簡單的線性回歸模型。
線性回歸模型的一個(gè)基本的假設(shè)是殘差是0，也就是說，參數(shù)應(yīng)該在0的周圍分散。
現(xiàn)在，把這些殘差作為誤差提交到我們的預(yù)測模型中。盡管，基于樹的模型（將決策樹作為梯度提升的基礎(chǔ)模型）不是基于這個(gè)假設(shè)，但是如果我們對這個(gè)假設(shè)進(jìn)行邏輯思考，我們也許能提出，如果我們能發(fā)現(xiàn)在0的周圍的殘差一些模式，我們可以利用這個(gè)模式來擬合模型。
所以，梯度提升背后的直覺就是重復(fù)的利用殘差中的模式利用弱預(yù)測器來加強(qiáng)模型，讓模型變得更好。一旦我們到了一個(gè)階段，殘差不具有任何的模式，無法進(jìn)行建模，我們就可以停止了（否則會導(dǎo)致過擬合）。從算法的角度講，我們在最小化損失函數(shù)，直到測試損失達(dá)到最小。
總結(jié)一下:
我們首先使用一個(gè)簡單的模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，分析數(shù)據(jù)的誤差。
這些誤差表示數(shù)據(jù)點(diǎn)使用簡單的模型很難進(jìn)行擬合。
然后對于接下來的模型，我們特別的專注于將那些難于擬合的數(shù)據(jù)，把這些數(shù)據(jù)預(yù)測正確。
最后，我們將所有的預(yù)測器組合起來，對于每個(gè)預(yù)測器給定一個(gè)權(quán)重。
我們來模擬一些數(shù)據(jù)，如下面的散點(diǎn)圖所示，一個(gè)輸入，一個(gè)輸出。
上面的數(shù)據(jù)是通過下面的python代碼生成的。
x = np.arange(0,50)
x = pd.DataFrame({'x':x})
# just random uniform distributions in differnt range
y1 = np.random.uniform(10,15,10)
y2 = np.random.uniform(20,25,10)
y3 = np.random.uniform(0,5,10)
y4 = np.random.uniform(30,32,10)
y5 = np.random.uniform(13,17,10)
y = np.concatenate((y1,y2,y3,y4,y5))
y = y[:,None]1. 擬合一個(gè)簡單的線性回歸模型或者決策樹模型（在我的代碼中選擇了決策樹）[x作為輸入，y作為輸出]
xi = x # initialization of input
yi = y # initialization of target
# x,y --> use where no need to change original y
ei = 0 # initialization of error
n = len(yi) # number of rows
predf = 0 # initial prediction 0
for i in range(30): # loop will make 30 trees (n_estimators).
tree = DecisionTree(xi,yi) # DecisionTree scratch code can be found in shared github/kaggle link.
# It just create a single decision tree with provided min. sample leaf
tree.find_better_split(0) # For selected input variable, this splits (<n and >n) data so that std. deviation of
# target variable in both splits is minimum as compared to all other splits
r = np.where(xi == tree.split)[0][0] # finds index where this best split occurs
left_idx = np.where(xi <= tree.split)[0] # index lhs of split
right_idx = np.where(xi > tree.split)[0] # index rhs of split2.計(jì)算誤差，實(shí)際的目標(biāo)值，最小化預(yù)測目標(biāo)值 [e1= y - y_predicted1 ]
3.把誤差作為目標(biāo)值，擬合新的模型，使用同樣的輸入數(shù)據(jù)[叫做e1_predicted]
4. 將預(yù)測的誤差加到之前的預(yù)測之中[y_predicted2 = y_predicted1 + e1_predicted]
5. 在剩下的殘差上擬合另一個(gè)模型， [e2 = y - y_predicted2]，重復(fù)第2到第5步，直到開始過擬合，或者殘差的和開始不怎么變換。過擬合可以通過驗(yàn)證數(shù)據(jù)上的準(zhǔn)確率來發(fā)現(xiàn)。
# predictions by ith decisision tree
predi = np.zeros(n)
np.put(predi, left_idx, np.repeat(np.mean(yi[left_idx]), r)) # replace left side mean y
np.put(predi, right_idx, np.repeat(np.mean(yi[right_idx]), n-r)) # right side mean y
predi = predi[:,None] # make long vector (nx1) in compatible with y
predf = predf + predi # final prediction will be previous prediction value + new prediction of residual
ei = y - predf # needed originl y here as residual always from original y
yi = ei # update yi as residual to reloop為了幫助理解劃線部分的概念，這里有個(gè)鏈接，有完整的梯度提升模型的實(shí)現(xiàn) [[Link: Gradient Boosting from scratch]](https://www.kaggle.com/grroverpr/gradient-boosting-simplified/)。
藍(lán)色的點(diǎn)（左邊）是輸入（x），紅色的線（左邊）是輸出（y）顯示了決策樹的預(yù)測值，綠色的點(diǎn)（右邊）顯示了第i次迭代的殘差vs.輸入（x），迭代表示擬合梯度提升樹的了序列的順序。
Fig 5. Visualization of gradient boosting predictions (First 4 iterations)
Fig 6. Visualization of gradient boosting predictions (18th to 20th iterations)
我們發(fā)現(xiàn)過了20個(gè)迭代，殘差變成了0附近的隨機(jī)分布（我不會說是隨機(jī)正態(tài)分布），我們的預(yù)測也非常接近于實(shí)際值。這時(shí)可以停止訓(xùn)練模型了，否則要開始過擬合了。
我們來看看，50個(gè)迭代之后的樣子：
Fig 7. Visualization of gradient boosting prediction (iteration 50th)
我們發(fā)現(xiàn)，即使是50個(gè)迭代之后，殘差vs. x的圖和我們看到的20個(gè)迭代的圖也沒太大區(qū)別。但是模型正在變的越來越復(fù)雜，預(yù)測結(jié)果在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上出現(xiàn)了過擬合。所以，最好是在20個(gè)迭代的時(shí)候就停止。
用來畫圖的python代碼。
# plotting after prediction
xa = np.array(x.x) # column name of x is x
order = np.argsort(xa)
xs = np.array(xa)[order]
ys = np.array(predf)[order]
#epreds = np.array(epred[:,None])[order]
f, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, sharey=True, figsize = (13,2.5))
ax1.plot(x,y, 'o')
ax1.plot(xs, ys, 'r')
ax1.set_title(f'Prediction (Iteration {i+1})')
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('y / y_pred')
ax2.plot(x, ei, 'go')
ax2.set_title(f'Residuals vs. x (Iteration {i+1})')
ax2.set_xlabel('x')
ax2.set_ylabel('Residuals')我希望這個(gè)博客可以幫助你對梯度提升算法的工作有一個(gè)基本的直覺。為了理解梯度提升回歸算法的細(xì)節(jié)，我強(qiáng)烈建議你讀一讀下面這些文章。
我的github倉庫和kaggle的kernel的鏈接，從頭開始GBM
https://www.kaggle.com/grroverpr/gradient-boosting-simplified/https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/01_Gradient_Boosting_Scratch.ipynb
一個(gè)直觀和細(xì)致的梯度提升算法的解釋
http://explained.ai/gradient-boosting/index.html
Fast.ai的github倉庫鏈接，從頭開始做決策樹
https://github.com/fastai/fastai
Alexander Ihler的視頻，這視頻幫我理解了很多。
https://youtu.be/sRktKszFmSk
最常用的GBM算法
XGBoost || Lightgbm || Catboost || sklearn.ensemble.GradientBoostingClassifier
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